平面与球体的解析射线求交 —— 光线追踪背后的数学

计算机图形学
平面与球体的解析射线求交 —— 光线追踪背后的数学
Shot by Cátia Matos

从零推导射线与平面、射线与球体的交点公式，配合交互可视化、逐步数学推导，以及平行射线和负 t 值等边界情况的实用处理技巧。

什么是射线？

在现实生活中，我们通常将射线描述为从一个点出发，沿某个方向无限延伸的路径。

我们可以用数学方式来表达这个定义。
射线从一个点出发，我们记为 voriginv_{origin}，并沿着某个特定方向 vdirectionv_{direction} 延伸。
由于计算机无法表示“无限”，我们引入一个参数 tt，表示射线上的长度。

R=vorigin+t∗vdirectionR = v_{\text{origin}} + t * v_{\text{direction}}
3
长度
0.00
方向

射线与平面求交

平面是讨论求交问题的一个很好的起点，一个常见的问题是：我们如何判断一条射线是否与一个平面相交？

基本思路是，如果射线与平面相交，那么交点 pip_{i} 必须位于该平面上。

根据射线的定义，我们可以表示交点 pip_{i}：

pi=vorigin+t∗vdirectionp_{i} = v_{\text{origin}} + t * v_{\text{direction}}

另一方面，我们知道，如果一个点在平面上，那么该点与平面法向量 nn 的点积应为零：

pi⋅n=0p_{i} \cdot n = 0

因此，我们可以将 pip_{i} 的表达式代入点积公式中：

(vorigin+t∗vdirection)⋅n=0(v_{\text{origin}} + t * v_{\text{direction}}) \cdot n = 0

这个判断射线是否与平面相交的问题，就转化为求解未知数 tt。

如果这个方程有解，那么就说明射线与平面存在交点。

那平面的法向量 nn 是怎么来的呢？

我们可以假设平面固定在原点，并朝上方朝向。当需要变换时，可以使用矩阵对平面进行变换。当前情况下，平面的法向量可以取为 (0,1,0)(0, 1, 0)。

接下来，我们将用代数方法求解这个方程。

逐步求解 tt

我们从射线与平面相交的条件出发：

(vori+t∗vdir)⋅n=0(v_{\text{ori}} + t * v_{\text{dir}}) \cdot n = 0

展开点积为两个部分：

(vori⋅n)+(t∗vdir)⋅n=0(v_{\text{ori}} \cdot n) + (t * v_{\text{dir}}) \cdot n = 0

利用数量乘法的结合律，将 tt 提出点积之外：

(vori⋅n)+t∗(vdir⋅n)=0(v_{\text{ori}} \cdot n) + t * (v_{\text{dir}} \cdot n) = 0

接着，我们从两边同时减去 vori⋅nv_{\text{ori}} \cdot n，以便将含 tt 的项单独列出：

t∗(vdir⋅n)=−(vori⋅n)t * (v_{\text{dir}} \cdot n) = - (v_{\text{ori}} \cdot n)

最后，将两边同时除以 vdir⋅nv_{\text{dir}} \cdot n，得到 tt 的解：

t=−vori⋅nvdir⋅nt = - \frac{v_{\text{ori}} \cdot n}{v_{\text{dir}} \cdot n}

这个标量 tt 表示沿射线方向前进多远会与平面相交。

边界情况：负 tt 值与平行射线

在这个求交方程中，有两种情况是无效的：

如果 tt 为负值，说明平面在射线的后方。
可以想象我们就是射线，朝着 vdirectionv_{\text{direction}} 的方向前进，此时一个负的 tt 表示平面在我们身后，在相交的语义下这是没有意义的，因此这种情况被视为无效。

-4
x
0.00
方向

另一种无效情况是分母为零。
这意味着射线的方向与平面平行，此时 vdir⋅n=0v_{\text{dir}} \cdot n = 0，会导致除以零的错误，不仅在数学上无解，在程序中也可能引发编译错误或运行时异常。
因此，这种情况也必须在实现中加以处理。

0.00
dir

总结一下：我们只在 t∈[0,∞)t \in [0, \infty) 的范围内，才认为这个交点是有效的。

射线与球体求交

众所周知，如果一个点位于球面上，那么该点 pp 到球心 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 的距离的平方必须等于球半径的平方 r2r^2。也就是说：

(px−x0)2+(py−y0)2+(pz−z0)2=r2(p_x - x_0)^2 + (p_y - y_0)^2 + (p_z - z_0)^2 = r^2

这个式子实际上就是点 pp 到球心之间的欧几里得距离的平方。我们可以用向量的方式更简洁地表示为：

∥p−c∥2=r2\|p - c\|^2 = r^2

其中 c=(x0,y0,z0)c = (x_0, y_0, z_0) 表示球心的位置。由于距离是非负的，两边同时开平方根得到：

∥p−c∥=r\|p - c\| = r

为了简化分析，我们假设球心位于原点，即 c=(0,0,0)c = (0, 0, 0)。此时公式进一步简化为：

∥p∥=r\|p\| = r

根据定义，向量 pp 的长度为：

∥p∥=p⋅p\|p\| = \sqrt{p \cdot p}

因此，我们的关系式可以写成：

p⋅p=r\sqrt{p \cdot p} = r

为了简化运算，我们对等式两边平方，消掉平方根：

p⋅p=r2p \cdot p = r^2

接下来，和之前一样的套路：把 pp 替换成射线的定义 R=vorigin+t∗vdirectionR = v_{\text{origin}} + t * v_{\text{direction}}，于是得到：

(vo+t∗vd)⋅(vo+t∗vd)=r2(v_{o} + t * v_{d}) \cdot (v_{o} + t * v_{d}) = r^2

你可能已经猜到了，点积具有分配律：

(vo⋅vo)+(vo⋅t∗vd)+(t∗vd⋅vo)+((t∗vd)⋅(t∗vd))=r2(v_{o} \cdot v_{o}) + (v_{o} \cdot t * v_{d}) + (t * v_{d} \cdot v_{o}) + ((t * v_{d}) \cdot (t * v_{d})) = r^2

实际上这正是一个完全平方公式：

(vo⋅vo)+2t∗(vo⋅vd)+t2∗(vd⋅vd)=r2(v_{o} \cdot v_{o}) + 2t * (v_{o} \cdot v_{d}) + t^2 * (v_{d} \cdot v_{d}) = r^2

你可能觉得我们提取 tt 的步骤有点快，但别担心，tt 是一个标量，之前我们也做过类似处理，这样操作是完全合法的。 我们已经知道射线的全部信息，即 vov_{o} 是射线的起点，vdv_{d} 是射线的方向，同时也知道球体的半径 rr。

因此，这个公式就变成了关于未知数 tt 的一个二次方程。
为了更清晰地看出它的结构，我们可以按下面这种顺序写出它：

t2∗(vd⋅vd)+t∗2∗(vo⋅vd)+(vo⋅vo)=r2t2∗(vd⋅vd)+t∗2∗(vo⋅vd)+(vo⋅vo−r2)=0\begin{align*} t^2 * (v_{d} \cdot v_{d}) + t * 2 * (v_{o} \cdot v_{d}) + (v_{o} \cdot v_{o}) &= r^2 \\[12pt] t^2 * (v_{d} \cdot v_{d}) + t * 2 * (v_{o} \cdot v_{d}) + (v_{o} \cdot v_{o} - r^2) &= 0 \end{align*}

我们可以使用二次方程公式来求解：

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

在这个问题中，我们的各项对应如下：

  • a=vd⋅vda = v_{d} \cdot v_{d}
  • b=2∗(vo⋅vd)b = 2 * (v_{o} \cdot v_{d})
  • c=vo⋅vo−r2c = v_{o} \cdot v_{o} - r^2

老实说，这个公式我们不一定要把它完全展开。
但如果你真的感兴趣，下面就是展开后的表达式：

x=−2(vo⃗⋅vd⃗)±[2(vo⃗⋅vd⃗)]2−4(vd⃗⋅vd⃗)(vo⃗⋅vo⃗−r2)2(vd⃗⋅vd⃗)x = \frac{ -2(\vec{v_o} \cdot \vec{v_d}) \pm \sqrt{ [2(\vec{v_o} \cdot \vec{v_d})]^2 - 4 (\vec{v_d} \cdot \vec{v_d}) (\vec{v_o} \cdot \vec{v_o} - r^2) } }{ 2 (\vec{v_d} \cdot \vec{v_d}) }

希望你没被吓到——其实我很想用颜色来标注关键项，可惜 KaTeX 不支持 :( 不过不妨碍我们继续。

两个解，一个交点 —— 为什么用 min()

首先要明确：如果我们选择解析解法，那么每一帧都需要重新计算这个方程。

因此，第一个检查点就是根号里的内容（判别式）不能小于零，因为我们这里不涉及复数解。

然后，没错——我们实际上会得到两个解。
想象一下：射线第一次击中球体的地方是进入点，而之后还会有一个离开点。
所以在实现时，我们只关心最靠近的一次交点。
这就是为什么在代码中通常会使用 min() 函数来取最小的那个解。

0.00
旋转

今天就到这里啦——希望你觉得内容有趣又实用！
下次见！